MATERI PERTEMUAN 1 – 3
- 1. DISTRIBUSI FREKUENSI DAN GRAFIK
- Distribusi frekuensi adalah penyajian data dalam bentuk tabel berdasarkan penyebaran frekuensinya.
- Tabel distribusi frekuensi terdiri atas Baris (horizontal), Kolom (vertikal) , dan sel (isi antara pertemuan baris dan kolom). Jumlah baris, kolom, dan sel dibuat sesuai dengan keperluan.
- Judul Tabel biasanya dibuat dibagian atas Tabel.
Tabel 1. Penyebaran Siswa di Kota A Berdasarkan Jenis Sekolah dan Jenis Kelamin | ||||||||
Jenis Sekolah | Banyak Siswa | Jumlah | Judul Kolom | |||||
Laki-laki | Perempuan | |||||||
Baris | SD | 875 | 687 | 1562 | Badan Daftar/Tabel | |||
Baris | SMP | 512 | 507 | 1019 | ||||
Baris | SMA | 347 | 600 | 947 | ||||
Baris | SMK | 476 | 200 | 676 | ||||
Baris | Total | 4204 | ||||||
Baris | Judul Baris | Sel | Sel | Sel | ||||
- Menyusun dan menyajikan data dalam distribusi frekuensi tunggal (untuk macam dan jumlah data yang sedikit)
Contoh data: Nilai ujian 16 orang siswa
69, 45, 69, 56, 45, 69, 80, 70, 56, 69, 70, 56, 69, 56, 70, 69
Tabel 2. Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Siswa (X)
X | Tally/Tabulasi | fa | fr (%) |
45 | || | 2 | 12,50 |
56 | |||| | 4 | 25,00 |
69 | |||| | | 6 | 37,50 |
70 | ||| | 3 | 18,75 |
80 | | | 1 | 6,25 |
Jumlah | — | 16 | 100,00 |
- Menyusun dan menyajikan data dalam distribusi frekuensi bergolong (untuk macam dan jumlah data yang banyak).
Contoh data: Nilai ujian 80 orang Mahasiswa
79 | 49 | 48 | 74 | 81 | 98 | 87 | 80 |
80 | 84 | 90 | 70 | 91 | 93 | 82 | 78 |
70 | 71 | 92 | 38 | 56 | 81 | 74 | 73 |
68 | 72 | 85 | 51 | 65 | 93 | 83 | 86 |
90 | 31 | 83 | 73 | 74 | 43 | 86 | 88 |
92 | 93 | 76 | 71 | 90 | 72 | 67 | 75 |
80 | 91 | 61 | 72 | 97 | 91 | 88 | 81 |
70 | 74 | 99 | 95 | 80 | 59 | 71 | 77 |
63 | 60 | 83 | 82 | 60 | 67 | 89 | 63 |
76 | 63 | 88 | 70 | 66 | 88 | 79 | 75 |
Langkah-langkah penyusunan data dalam distribusi frekuensi bergolong.
► Siapkan Tabel untuk distribusi frekuensi yang terdiri dari kolom, baris, dan sel sesuai dengan keperluan
► Tentukan Rentang, yaitu skor tertinggi dikurangi skor terendah. 99 – 31 = 68
► Tentukan banyak kelas interval dengan rumus berdasarkan aturan Sturgess, yaitu:
1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 (log 80) = 1 + 3,3 (1,9031)
= 7,2802, dibulatkan menjadi 7 kelas
► Tentukan panjang kelas, yaitu rentang dibagi banyak kelas, yaitu 68/7 = 9,71, dibulatkan menjadi 10
► Pilih ujung kelas interval pertama, bisa dimulai dari data yang terendah (31), atau lebih kecil dari data terendah dengan selisih tidak boleh lebih besar dari panjang kelas.
Tabel 3. Distribusi Frekuensi Nilai 80 orang Mahasiswa
Nilai Ujian | Tabulasi | fa | fr |
31 – 40 | || | 2 | 2,50 |
41 – 50 | ||| | 3 | 3,75 |
51 – 60 | |||| | 5 | 6,25 |
61 – 70 | |||| ||| | 13 | 16,25 |
71 – 80 | |||| |||| |||| |||| |||| | 24 | 30,00 |
81 – 90 | |||| |||| |||| |||| | | 21 | 26,25 |
91 – 100 | |||| |||| || | 12 | 15,00 |
Jumlah | 80 | 100,00 |
- Jenis Grafik/diagram
- a. Histogram (diagram batang)
Gambar 1. Grafik Histogram Nilai Ujian Mahasiswa
- b. Poligon (grafik garis)
- c. Pie Diagram (diagram lingkaran)
- 2. KEDUDUKAN DATA DAN TENDENSI SENTRAL
Uraian Materi :
- Kuartil adalah bilangan pembagi, pada sekumpulan data yang dibagi menjadi empat bagian yang sama banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya.Terdapat 3 buah Kuartil, yaitu K1, K2, dan K3.
- Desil adalah bilangan pembagi, pada sekumpulan data yang dibagi menjadi sepuluh bagian yang sama banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya. Terdapat 9 buah Desil, yaitu: D1, D2, ……….. D9.
- Persentil adalah bilangan pembagi, pada sekumpulan data yang dibagi menjadi seratus bagian yang sama banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya. Terdapat 99 buah Persentil, yaitu: P1, P2, ……….. P99.
- Menentukan Letak dan Nilai Kuartil untuk data tunggal
- Susun data menurut urutan nilainya
- Tentukan letak kuartil
- Tentukan nilai kuartil
Sampel dengan data
75, 82, 66, 57, 64, 56, 92, 94, 86, 52, 60, 70
Disusun urutan nilainya dari kecil ke besar
52, 56, 57, 60, 64, 66, 70, 75, 82, 86, 92, 94
Letak Ki = data ke i (n+1)
4
dengan i = 1, 2, 3
► Letak K1 = data ke 1 (12+1) = 13 = data ke 3 ¼
4 4
Yaitu data ke 3 + ¼ jauh dari data ke 3 ke arah data ke 4.
► Nilai K1 = data ke 3 + ¼ (data ke 4 – data ke 3)
= 57 + ¼ (60 – 57)
= 57 + ¼ (3) = 57 ¾
► Letak K2 = data ke 2 (12+1) = 26 = data ke 6 ½
4 4
Yaitu data ke 6 + ½ jauh dari data ke 6 ke arah data ke 7.
► Nilai K2 = data ke 6 + ½ (data ke 7 – data ke 6)
= 66 + ½ (70 – 66)
= 66 + ½ (4)
= 68
- 5. Menentukan Letak dan Nilai Desil untuk data tunggal
- Susun data menurut urutan nilainya
- Tentukan letak Desil
- Tentukan nilai Desil
Sampel dengan data
75, 82, 66, 57, 64, 56, 92, 94, 86, 52, 60, 70
Disusun urutan nilainya dari kecil ke besar
52, 56, 57, 60, 64, 66, 70, 75, 82, 86, 92, 94
Letak Di = data ke i (n+1)
10
dengan i = 1, 2, …………., 9
Letak D1 = data ke 1 (12+1) = 13 = data ke 1,3
10 10
Yaitu data ke 1 + 0,3 jauh dari data ke 1 ke arah data ke 2.
Nilai D1 = data ke 1 + 0,3 (data ke 2 – data ke 1)
= 52 + 0,3 (56 – 52)
= 52 + 0,3 (4) = 53,2
Letak D5 = data ke 5 (12+1) = 65 = data ke 6,5
10 10
Yaitu data ke 6 + 0,5 jauh dari data ke 6 ke arah data ke 7 .
Nilai D5 = data ke 6 + 0,5 (data ke 7 – data ke 6)
= 66 + ½ (70 – 66)
= 66 + ½ (4)
= 68
- 6. Menentukan Letak dan Nilai Persentil untuk data tunggal
- Susun data menurut urutan nilainya
- Tentukan letak Persentil
- Tentukan nilai Persentil
Sampel dengan data
75, 82, 66, 57, 64, 56, 92, 94, 86, 52, 60, 70
Disusun urutan nilainya dari kecil ke besar
52, 56, 57, 60, 64, 66, 70, 75, 82, 86, 92, 94
Letak Pi = data ke i (n+1)
100
dengan i = 1, 2, …………., 99
Letak P25 = data ke 25 (12+1) = 325 = data ke 3,25
100 100
Yaitu data ke 3 + 0,25 jauh dari data ke 3 ke arah data ke 4.
Nilai P25 = data ke 3 + 0,25 (data ke 4 – data ke 3)
= 57 + 0,25 (60 – 57)
= 57 + 0,25 (3)
= 57,75
Letak P50 = data ke 50 (12+1) = 650 = data ke 6,5
100 100
Yaitu data ke 6 + 0,5 jauh dari data ke 6 ke arah data ke 7 .
Nilai P50 = data ke 6 + 0,5 (data ke 7 – data ke 6)
= 66 + ½ (70 – 66)
= 66 + ½ (4)
= 68
- 7. Menentukan Letak dan Nilai Kuartil untuk data bergolong
Nilai Ujian | f | fk |
Ki = b + p (in/4 – fd) f dengan i = 1, 2, 3
b= batas bawah kelas Ki, ialah kelas interval di mana Ki akan terletak p = panjang kelas interval Ki fd = frekuensi kumulatif dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Ki f = frekuensi kelas interval Ki fk = frekuensi kumulatif |
31 – 40 | 1 | 1 | |
41 – 50 | 2 | 3 | |
51 – 60 | 5 | 8 | |
61 – 70 | 15 | 23 | |
71 – 80 | 25 | 48 | |
81 – 90 | 20 | 68 | |
91 – 100 | 12 | 80 | |
Jumlah | 80 |
- Ki = b + p (in/4 – fd)
f
Untuk menentukan kuartil ketiga K3, kita perlu ¾ x jumlah data/frekuensi, yaitu ¾ x 80 = 60
► K3 akan terletak di frekuensi ke 60, yaitu pada kelas interval ke 6.
► Batas bawah kelas interval K3 (b) adalah nilai ujung kiri kelas interval ke 6 – 0,5 = 80,5
► panjang kelas interval K3 (p) = 10
► Frekuensi kelas interval K3 (f) = 20
► F = 1 + 2 + 5 + 15 + 25 = 48
K3 = 80,5 + 10 (3×80/4 – fd )
f
► K3 = 80,5 + 10 (60 – 48 )
20
► K3 = 80,5 + 10 (12 )
20
► K3 = 80,5 + 10 (0,6 )
► K3 = 86,5
- 8. Menentukan Letak dan Nilai Desil untuk data bergolong
Nilai Ujian | f | fk |
f dengan i = 1, 2, ……. 9
b= batas bawah kelas Di, ialah kelas interval dimana Di akan terletak p = panjang kelas interval Di fd = frekuensi kumulatif dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Di f = frekuensi kelas interval Di fk = frekuensi kumulatif |
31 – 40 | 1 | 1 | |
41 – 50 | 2 | 3 | |
51 – 60 | 5 | 8 | |
61 – 70 | 15 | 23 | |
71 – 80 | 25 | 48 | |
81 – 90 | 20 | 68 | |
91 – 100 | 12 | 80 | |
Jumlah | 80 |
- 9. Menentukan Letak dan Nilai Persentil untuk data bergolong
Nilai Ujian | f | fk |
f dengan i = 1, 2, 3 ………99
b= batas bawah kelas Pi, ialah kelas interval di mana Pi akan terletak p = panjang kelas interval Pi fd = frekuensi kumulatif dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Pi f = frekuensi kelas interval Pi fk = frekuensi kumulatif |
31 – 40 | 1 | 1 | |
41 – 50 | 2 | 3 | |
51 – 60 | 5 | 8 | |
61 – 70 | 15 | 23 | |
71 – 80 | 25 | 48 | |
81 – 90 | 20 | 68 | |
91 – 100 | 12 | 80 | |
Jumlah | 80 | —– |
- 10. Mean atau rata-rata hitung adalah jumlah semua skor dalam suatu sebaran dibagi dengan jumlah kasus (n).
Rumus | Mean = rata-rata hitung ( ) | |
Data tunggal |
= X1 + X2 + ……Xi N |
= ΣXi n |
Data bergolong
|
= ΣfiXi n |
|
Data bergolong cara sandi/symbol |
= x0 + p Σfi ci Σfi |
|
Data tunggal rata-rata gabungan dari beberapa sub sampel |
= Σni Xi Σni |
Menghitung Mean data tunggal
► 70, 69, 45, 80, 56
► = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 320 = 64
n 5
= SXi = 320 = 64
n 5
Xi | fi | fiXi |
45 | 2 | 90 |
56 | 4 | 224 |
69 | 6 | 414 |
70 | 3 | 210 |
80 | 1 | 80 |
Jumlah | 16 | 1018 |
Menghitung Mean data tunggal yang disusun dalam distribusi frekuensi tunggal (Rumus 2)
= ΣfiXi atau = ΣfiXi
Σfi n
= 1018 = 63,625
16
Menghitung Mean data Bergolong (Rumus 2)
Tinggi (cm) | Fi | Xi | fiXi |
140 – 144 | 7 | 142 | 994 |
145 – 149 | 10 | 147 | 1470 |
150 – 154 | 16 | 152 | 2432 |
155 – 159 | 23 | 157 | 3611 |
160 – 164 | 21 | 162 | 3402 |
165 – 169 | 17 | 167 | 2839 |
170 – 174 | 6 | 172 | 1032 |
100 | 15780 |
= ΣfiXi = ΣfiXi = 15780 = 157,8
Σfi n 100
Menghitung Mean data Bergolong cara sandi/simbol (Rumus 3)
- Ambil salah satu kelas interval, namakan Xo
- Untuk harga Xo diberi nilai sandi = 0
- Tanda kelas yang lebih kecil dari Xo berturut-turut diberi nilai-nilai sandi C = -1, C = -2, C = -3 dan seterusnya
- Tanda kelas yang lebih besar dari Xo berturut-turut diberi nilai-nilai sandi C = 1, C = 2, C = 3 dan seterusnya.
Tinggi (cm) | Fi | Xi | Ci | fiCi |
140 – 144 | 7 | 142 | -3 | -21 |
145 – 149 | 10 | 147 | -2 | -20 |
150 – 154 | 16 | 152 | -1 | -16 |
155 – 159 | 23 | 157 | 0 | 0 |
160 – 164 | 21 | 162 | 1 | 21 |
165 – 169 | 17 | 167 | 2 | 34 |
170 – 174 | 6 | 172 | 3 | 18 |
100 | 16 |
= x0 + p Σfi ci = 157 + 5 16 = 157 + 5 0,16 = 157,8
Σfi 100
Menghitung rata-rata gabungan (data tunggal) dari beberapa sub sampel
Sub sampel 1: n1 = 10 = 145
Sub sampel 2: n2 = 6 = 118
Sub sampel 3: n3 = 8 = 162
= Σni i
Σni
= (10)(145) + (6)(118) + (8)(162) = 143,9
10 + 6 + 8
- 11. Median adalah nilai tengah dalam suatu sebaran data
Median Data tunggal
4, 12, 5, 7, 8, 10, 10
ü Susun data terlebih dulu dari kecil ke besar
4, 5, 7, 8, 10, 10, 12 (jumlah data ganjil)
ü Jika jumlah data ganjil, maka median (Me) adalah data paling tengah dari sebaran data yang telah disusun (8).
4, 5, 7, 8, 10, 10, 12, 16 (jumlah data genap)
ü Jika jumlah data genap, maka median (Me) adalah jumlah dua data paling tengah dibagi 2, yaitu (8+10) = 9
2
Median Data Bergolong
Nilai Ujian | Fi | fk |
f
b= batas bawah kelas median, ialah kelas interval dimana median akan terletak p = panjang kelas interval median n = jumlah sampel fd = frekuensi kumulatif dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas median f = frekuensi kelas median fk = frekuensi kumulatif
|
31 – 40 | 1 | 1 | |
41 – 50 | 2 | 3 | |
51 – 60 | 5 | 8 | |
61 – 70 | 15 | 23 | |
71 – 80 | 25 | 48 | |
81 – 90 | 20 | 68 | |
91 – 100 | 12 | 80 | |
Jumlah | 80 | __ |
Tentukan letak Median. Setengah dari seluruh data adalah 40 buah. Jadi median akan terletak di kelas interval kelima, karena sampai dengan ini jumlah frekuensi sudah termasuk pada frekuensi ke 40.
Dari kelas median ini diperoleh b = 70,5; p = 10; dan f = 25.
Adapun F = 1 + 2 + 5 + 15 = 23
Jadi Median =
- Me = b + p (½n – fd)
f
- Me = 70,5 + 10 (40 – 23) = 77,3
25
- Modus adalah skor/data yang paling banyak/sering muncul dalam suatu sebaran data.
Modus Data Tunggal
12, 34, 14, 28, 34, 34, 28, 14
Modus (Mo) pada data di atas adalah 34, karena skor 34 yang paling banyak muncul (3 buah) dalam sebaran data tersebut.
Modus Data Bergolong
Nilai Ujian | f |
b1 + b2
b = batas bawah kelas modus, ialah kelas interval dengan frekuensi terbanyak p = panjang kelas modus b1 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas lebih kecil sebelum tanda kelas modus b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas lebih besar sesudah tanda kelas modus
|
31 – 40 | 1 | |
41 – 50 | 2 | |
51 – 60 | 5 | |
61 – 70 | 15 | |
71 – 80 | 25 | |
81 – 90 | 20 | |
91 – 100 | 12 | |
Jumlah | 80 |
Tentukan letak Modus, yaitu di kelas interval kelima, karena disana terdapat frekuensi terbanyak
b = 70,5
b1 = 25 – 15 = 10
b2 = 25 – 20 = 5
p = 10
- Mo = b + p __b1__
b1 + b2
- Mo = 70,5 + 10 10 = 77,17
10+5
3.STANDAR DEVIASI DAN SKOR BAKU
- A. Uraian Materi
- Standar deviasi adalah satuan ukuran penyebaran frekuensi dari tendensi sentralnya.
- Varians adalah satuan ukuran penyebaran variabel kontinyu yang menunjukkan kuadrat dari standar deviasi
Rumus | Standar deviasi (s) | Varians (s2) |
Data tunggal berdasarkan deviasi |
s = Σ (Xi – )2 n – 1
|
s2 = Σ (Xi – )2 n – 1
|
Data tunggal berdasarkan angka mentah
|
s = n ΣXi2 – (ΣXi)2 n(n – 1)
|
s2 = n ΣXi2 – (ΣXi)2 n(n – 1)
|
Data bergolong berdasarkan deviasi
|
s = Σfi (Xi – )2 n – 1
|
s2 = Σfi (Xi – )2 n – 1
|
Data bergolong berdasarkan angka mentah
|
s = n ΣfiXi2 – (ΣfiXi)2 n(n – 1)
|
s2 = n ΣfiXi2 – (ΣfiXi)2 n(n – 1)
|
Data bergolong cara sandi/simbol
|
s = p2 nΣfi ci2 – (Σfici)2 n(n – 1) |
s2 = p2 nΣfici2 – (Σfici)2 n(n – 1) |
Aplikasi rumus menghitung standar deviasi data tunggal berdasarkan Deviasi
N | |||
1 | 45 | -19 | 361 |
2 | 56 | -8 | 64 |
3 | 69 | 5 | 25 |
4 | 70 | 6 | 36 |
5 | 80 | 16 | 256 |
320 | 0 | 742 |
Rumus | Standar deviasi (s) | Varians (s2) |
Data tunggal berdasarkan deviasi |
|
Aplikasi rumus menghitung standar deviasi data tunggal berdasarkan angka mentah
No. | Xi | Xi2 |
1 | 45 | 2025 |
2 | 56 | 3136 |
3 | 69 | 4761 |
4 | 70 | 4900 |
5 | 80 | 6400 |
320 | 21222 | |
Data tunggal berdasarkan angka mentah |
|
|
Aplikasi rumus menghitung standar deviasi data bergolong berdasarkan deviasi
Tinggi (cm) | fi | Xi | fiXi | Xi – | (Xi – )2 | fi(Xi – )2 |
140 – 144 | 7 | 142 | 994 | – 15.8 | 249.64 | 1747.48 |
145 – 149 | 10 | 147 | 1470 | – 10.8 | 116.64 | 1166.4 |
150 – 154 | 16 | 152 | 2432 | – 5.8 | 33.64 | 538.24 |
155 – 159 | 23 | 157 | 3611 | – 0.8 | 0.64 | 14.72 |
160 – 164 | 21 | 162 | 3402 | 4.2 | 17.64 | 370.44 |
165 – 169 | 17 | 167 | 2839 | 9.2 | 84.64 | 1438.88 |
170 – 174 | 6 | 172 | 1032 | 14.2 | 201.64 | 1209.84 |
Jumlah | 100 | 15780 | 0 | 6486 |
Data bergolong berdasarkan deviasi
|
s = Σfi (Xi – )2 n – 1
|
s2 = Σfi (Xi – )2 n – 1
|
Data bergolong berdasarkan deviasi
|
s = 6486 = 8,09 100 – 1
|
s2 = Σfi (Xi – )2 =65.5152 n – 1
|
Aplikasi rumus menghitung standar deviasi data bergolong berdasarkan cara sandi/simbol
Tinggi (cm) | fi | Xi | Ci | ci2 | fiCi | fiCi2 |
140 – 144 | 7 | 142 | -3 | 9 | -21 | 63 |
145 – 149 | 10 | 147 | -2 | 4 | -20 | 40 |
150 – 154 | 16 | 152 | -1 | 1 | -16 | 16 |
155 – 159 | 23 | 157 | 0 | 0 | 0 | 0 |
160 – 164 | 21 | 162 | 1 | 1 | 21 | 21 |
165 – 169 | 17 | 167 | 2 | 4 | 34 | 68 |
170 – 174 | 6 | 172 | 3 | 9 | 18 | 54 |
100 | 16 | 262 |
Data bergolong cara sandi/simbol
|
s = p2 nΣfi ci2 – (Σfici)2 n(n – 1) |
s2 = p2 nΣfici2 – (Σfici)2 n(n – 1) |
s = 52 100×262– (16)2 100(100 – 1)
|
S2 = 52 100×262– (16)2 100(100 – 1) |